Exercițiul 593

E.593. Victor are jetoane albe și roșii. Dacă face grupe de $2$ jetoane albe și $3$ roșii rămân negrupate $1$ jeton roșu și $3$ albe, iar dacă grupează $3$ jetoane albe și $2$ roșii rămân negrupate $2$ albe și $17$ roșii.
a) Câte jetoane albe și câte roșii sunt?
b) Victor pierde de trei ori mai multe jetoane albe decât roșii și constată că numărul jetoanelor roșii este de $5$ ori mai mare decât numărul de jetoane albe. Câte jetoane roșii a pierdut?

Admitere Loga, 2024

Răspuns final:

a) $23$ albe, $31$ roșii. b) $6.$

Soluție:

a) Notăm cu $a$ și $r$ numărul de jetoane albe, respectiv roșii.
Notăm cu $x$ și $y$ numărul de grupe pe care Victor le formează în primul, respectiv în al doilea scenariu.

\text{Scenariul 1:} \begin{cases} a=2x+3 \\ r=3x+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=(a-3):2 \\ x=(r-1):3 \end{cases} \Rightarrow (a-3):2 = (r-1):3 \Rightarrow \boxed{3a=2r+7}.

\text{Scenariul 2:} \begin{cases} a=3y+2 \\ r=2y+17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=(a-2):3 \\ y=(r-17):2 \end{cases} \Rightarrow (a-2):3 = (r-17):2 \Rightarrow \boxed{2a+47=3r}.

Din ultimele două relații, avem:

\begin{cases} 3a=2r+7 \quad | \cdot 2 \\ 2a+47=3r \quad | \cdot 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a=4r+14 \\ 6a+141=9r \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 141=5r-14 \Rightarrow \boxed{r=31}.

3a=2 \cdot 31 + 7 \Rightarrow \boxed{a=23}.

b) Notăm cu $p$ numărul de jetoane roșii pierdute și cu $n$ numărul de jetoane albe rămase.

\begin{cases} 23-3p=n \\ 31-p=5n \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n+3p=23 \quad | \cdot 5\\ 5n+p=31 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5n+15p=115\\ 5n+p=31 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 14p=84 \Rightarrow \boxed{p=6}.