Exercițiul 596

E.596. Dacă într-o bibliotecă se așază câte $28$ cărți pe fiecare poliță, rămân $10$ cărți neașezate. Dacă se așază câte $40$ de cărți pe poliță, rămân $4$ polițe goale și o poliță cu doar $30$ de cărți. (Toate cărțile au același format.)
a. Calculați numărul total de cărți.
b. Dacă la bibliotecă se mai aduc $490$ de cărți, care este numărul minim de polițe ce mai trebuie montate pentru ca toate cărțile să fie distribuite în mod egal pe toate polițele bibliotecii. Se știe că o poliță nu suportă mai mult de $40$ de cărți.

Admitere Loga, 2021

Răspuns final:

a) $430.$ b) $8.$

Soluție:

a) Notăm cu $c$ și $p$ numărul de cărți, respectiv numărul de polițe.

\begin{cases} c=28p+10 \\ c=40(p-5)+30 \end{cases} \Rightarrow 28p+10 = 40p-200+30 \Rightarrow \boxed{p=15}.

c=28 \cdot 15+10 \Rightarrow \boxed{c=430}.

b) În total avem $430+490=920$ cărți.
Ca să obținem un număr minim de polițe, trebuie ca pe fiecare poliță sa punem cât mai multe cărți. La încărcarea maximă, aceste cărți le putem repartiza pe $920:40=23$ polițe.
Prin urmare, mai trebuie să aducem $23-15=8$ polițe.