Exercițiul 545

E.545. Un maimuțoi jucăuș urcă niște scări astfel: urcă $4,$ coboară $2,$ urcă $5,$ coboară $2,$ urcă $7,$ coboară $3$ si apoi repeta procedeul. Un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte.
a) După câți pași ajunge prima data pe treapta cu numărul $93?$
b) Câte trepte urcă după $465$ pași?

Admite Loga, 2024

Răspuns final:

a) $227$ pași; b) $183$ trepte

Soluție:

$\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow$
$\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow\longleftarrow$

Într-un ciclu, maimuțoiul urcă $4-2+5-2+7-3 = 9$ trepte și parcurge $4+2+5+2+7+3 = 23$ de pași.
În $10$ cicli, maimuțoiul a urcat $9 \cdot 10 = 90$ trepte și a parcurs $23 \cdot 10 = 230$ pași. Înseamnă că treapta $93$ a atins-o cu $3$ pași în urmă, adică după $227$ pași.

b) $465 = 20 \cdot 23 + 5.$ Deci cei $465$ de pași înseamnă $20$ de cicluri complete, plus încă 5 pași.

În cele $20$ de clicluri, urcă $20 \cdot 9 = 180$ trepte.
În ultimii cinci pași, urcă $4-1=3$ trepte.

Așadar, după $465$ de pași urcă $180+3=183$ trepte.