Probleme de perspicacitate

Lecție Lucian Maran 2026-08-30

E.545. Un maimuțoi jucăuș urcă niște scări astfel: urcă 4,4, coboară 2,2, urcă 5,5, coboară 2,2, urcă 7,7, coboară 33 si apoi repeta procedeul. Un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte.
a) După câți pași ajunge prima data pe treapta cu numărul 93?93?
b) Câte trepte urcă după 465465 pași?

Admite Loga, 2024
Vizualizează
Soluție:

⟶⟶⟶⟶\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow
⟶⟶⟵⟵\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow
⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶\phantom{\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow
⟶⟶⟶⟶⟶⟵⟵\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow
⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow
⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟶⟵⟵⟵\phantom{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow}\longleftarrow\longleftarrow\longleftarrow

Într-un ciclu, maimuțoiul urcă 4−2+5−2+7−3=94-2+5-2+7-3 = 9 trepte și parcurge 4+2+5+2+7+3=234+2+5+2+7+3 = 23 de pași.
În 1010 cicli, maimuțoiul a urcat 9⋅10=909 \cdot 10 = 90 trepte și a parcurs 23⋅10=23023 \cdot 10 = 230 pași. Înseamnă că treapta 9393 a atins-o cu 33 pași în urmă, adică după 227227 pași.

b) 465=20⋅23+5.465 = 20 \cdot 23 + 5. Deci cei 465465 de pași înseamnă 2020 de cicluri complete, plus încă 5 pași.

  • În cele 2020 de clicluri, urcă 20⋅9=18020 \cdot 9 = 180 trepte.
  • În ultimii cinci pași, urcă 4−1=34-1=3 trepte.

Așadar, după 465465 de pași urcă 180+3=183180+3=183 trepte.

E.546. Un burete plin de apă cântărește 140140 grame, după ce se evaporă jumătate din cantitatea de apă cântărește 9090 grame. Cât cântărește buretele uscat?

Admite Loga, 2023
Vizualizează
Soluție:

Notăm cu bb și aa greutatea buretelui gol, respectiv a apei.

b+a=140b+a:2=90}⇒a:2=140−90=50⇒a=100 g⇒b=40 g. \begin{rcases} b + a = 140 \\ b + a:2 = 90 \end{rcases} \Rightarrow a:2 = 140-90=50 \Rightarrow \boxed{a=100 \text{ g}} \Rightarrow \boxed{b=40 \text{ g}}.

E.547. Călin stă pe o scară și observă că sub treapta pe care stă sunt de trei ori mai multe trepte decât deasupra. După ce coboară 1111 trepte constată că deasupra și dedesubtul său sunt la fel de multe trepte. Câte trepte are scara?

Admite Loga, 2022
Vizualizează
Soluție:

Inițial avem treapta pe care stă Calin, xx trepte deasupra și 3x3x trepte dedesubt.
După ce Călin coboară 1111 trepte, deasupra lui rămân x+11 trepte, iar dedesubt 3x-11 trepte. Cum cele două valori sunt egale, putem scrie:

x+11=3x−11∣+11x+11 = 3x-11 \quad \big |+11
x+22=3x∣−xx+22 = 3x \quad \big |-x
22=2x⇒x=11.22 = 2x \Rightarrow \boxed{x=11}.
Deci scara are 1+11+3⋅11=451 + 11 + 3 \cdot 11 = 45 trepte.

E.548. Ionel și Victor așează pe masă, unul peste celălalt, un număr de cuburi albe. Ionel vopsește cu roșu al 9-lea cub, numărat de jos în sus, iar Victor vopsește cu verde al 77-lea cub, numărat de sus în jos. Știind că cel verde este mai jos decât cubul roșu și că între ele se află două cuburi albe, precizați numărul total de cuburi care se află pe masă.

Admite Loga, 2021
Vizualizează
Soluție:

Dacă între 99 și 77 sunt două cuburi, înseamnă că de la 99 (inclusiv) până la 77 (inclusiv) sunt 44 cuburi. Deci deasupra lui 99 sunt 7−4=37-4=3 cuburi.
Știind că de jos până la 99 (inclusiv) sunt 99 cuburi și că deasupra lui 9 mai sunt 44 cuburi, înseamnă că numărul total de cuburi va fi 9+3=129 + 3 = 12 cuburi.

Metoda 2 Numărul total de cuburi este 9+7−4=12.9+7-4 = 12.
Am scăzut 44 fiindcă cele 44 cuburi de la 99 (inclusiv) până la 77 (inclusiv) le-am numărat de două ori.

E.549. Călin merge pe o potecă în șir indian cu colegii lui. În fața lui sunt de 22 ori mai puțini copii decât în spatele lui. La un moment dat, Călin este depășit de 33 copii și astfel el se află exact în mijlocul șirului. Câți copii sunt în șir?

Admite Loga, 2020
Vizualizează
Soluție:

Inițial, în fața lui Călin sunt xx copii, iar în spatele lui, 2x2x copii.
După ce este depășit de 3 colegi, în spatele lui vor fi 2x−32x-3 iar în fața lui x+3x+3 copii. Cum cele două valori sunt egale, putem scrie:
2x−3=x+3∣+32x-3 = x+3 \quad \big | +3
2x=x+6⇒x=6.2x=x+6 \Rightarrow \boxed{x=6}.

Împreună cu Călin, în șir vor fi 2x+1+x=192x+1+x = 19 copii.

E.550. Un dreptunghi are una dintre laturi de 2424 cm. Trasăm trei segmente în așa fel încât să obținem patru pătrate. Ce dimensiune poate avea cealaltă latură?

Admite Loga, 2019
Vizualizează
Soluție:

Avem 33 variante: L=24L=24, l=6l=6, sau l=24l=24, L=60L=60 sau l=24l=24, L=96.L=96.

E.551. Un butoi plin cu apă cântărește 3030 de kg. După ce se varsă jumătate din cantitatea de apă, va cântări doar 1616 kg. Cât cântărește butoiul gol?

Admite Loga, 2018
Vizualizează
Soluție:

Aceeași soluție ca la problema cu buretele îmbibat cu apă.