Adunarea și scăderea

Lecție Lucian Maran 2026-09-25

E.408. Dacă 5a+4b=955a+4b=95 și 2a+3b=45,2a+3b=45, calculați 11a+13b.11a+13b.

Admite Loga, 2017
Vizualizează
Soluție:

11a+13b=(5a+4b)+3⋅(2a+3b)=95+3⋅45=230.11a+13b = (5a+4b) + 3 \cdot (2a+3b) = 95 + 3 \cdot 45 = 230.

E.412. Dacă 2a+3b=132a+3b=13 și 2b+3c=19,2b+3c=19, sa se calculeze 4a+8b+3c.4a+8b+3c.

Admite Loga, 2014
Vizualizează
Soluție:

4a+8b+3c=(2a+3b)+(2a+3b)+(2b+3c)=13+13+19=45.4a+8b+3c = (2a+3b) + (2a+3b)+(2b+3c) = 13+13+19 = 45.

E.400. Ştiind că 2a+3b−c=112a + 3b − c = 11 şi 3a+b+2c=27,3a + b + 2c = 27, să se calculeze 4a−b+5c.4a − b + 5c.

Admite Loga, 2019
Vizualizează
Soluție:

4a−b+5c=2(3a+b+2c)−(2a+3b−c=11)=2⋅27−11=43.4a − b + 5c = 2(3a + b + 2c) - (2a + 3b − c = 11) = 2 \cdot 27 - 11 = 43.

E.398. Ştiind că 2a+5b=292a + 5b = 29 şi 3b+7c=853b + 7c = 85, calculați 4a+13b+7c.4a + 13b + 7c.

Admite Loga, 2016 și 2020
Vizualizează
Soluție:

4a+13b+7c=(2a+5b)+(2a+5b)+(3b+7c)=29+29+85=143.4a + 13b + 7c = (2a + 5b) + (2a + 5b) + (3b + 7c) = 29 + 29 + 85 = 143.

E.409. Determinați cel mai mic număr cu suma cifrelor egală cu 38.38.

Admite Loga, 2015
Vizualizează
Soluție:

Pentru ca un număr să fie cât mai mic, trebuie ca el sa aibă cât mai puține cifre ⇒\Rightarrow trebuie să avem cât mai mulți de 9.9. Deci o primă încercare ar fi 9999.9999.
Dar 4⋅9=36,4 \cdot 9 = 36, deci ne mai lipsește un 2.2. Cum numărul trebuie să fie cât mai mic, vom adăuga acel 22 la început.

Așadar, numărul cerut este 29999.29999.

E.399. Care este suma dintre cel mai mic număr par cu suma cifrelor 4040 şi numărul 40?40?

Admite Loga, 2020
Vizualizează
Soluție:

Pentru ca un număr să fie cât mai mic, trebuie ca el sa aibă cât mai puține cifre ⇒\Rightarrow trebuie să avem cât mai mulți de 9.9. Deci o primă încercare ar fi 99994.99994.

În continuare, pentru a face numărul și mai mic, punem pe prima poziție cea mai mică cifră posibilă. Deci la a 2-a încercare obținem 49999.49999.

Mai avem de îndeplinit condiția ca numărul dat să fie par, iar de aici obținem că cel mai mic număr par cu suma cifrelor 4040 este 59998.59998.

Așadar răspunsul cerut este 59998+40=60038.59998 + 40 = 60038.

E.401. Calculați diferenţa dintre cel mai mic număr de patru cifre distincte şi cel mai mare număr par de 3 cifre:

Admite Loga, 2019
Vizualizează
Soluție:
  • Cel mai mic număr de patru cifre distincte este 1023.1023.
  • Cel mai mare număr par de 3 cifre este 998.998.

Răspuns: 1023−998=25.1023 - 998 = 25.

E.404. Calculați suma dintre aa și bb, unde aa este cel mai mic număr impar de 44 cifre și bb este cel mai mare număr par de 33 cifre distincte, știind că numerele aa şi bb nu conțin cifrele: 0,1,80, 1, 8 și 9.9.

Admite Loga, 2018
Vizualizează
Soluție:

Cel mai mic număr impar de 44 cifre este 1001.1001. Cum nu putem folosi cifrele 00 și 11 obținem a=2223;\boxed{a=2223};
Cel mai mare număr par de 33 cifre distincte este 986.986. Cum nu putem folosi cifrele 88 și 99 obținem b=764.\boxed{b=764}.

a+b=2223+764=2987.a+b = 2223 + 764 = 2987.

E.402. Suma a 33 numere pare consecutive este 36.36. Calculați triplul numărului mai mic.

Admite Loga, 2019
Vizualizează
Soluție:

Șirul dat este format din numerele: a,a+2a, a+2 și a+4,a+4, unde a este un număr par.
Din a+a+2+a+4=36a+ a+2 + a+4 = 36 obținem 3⋅a=30,3 \cdot a = 30, adică a=10.a=10. Triplul acestui număr este 30.30.

E.411. Suma a 33 numere pare consecutive este 600.600. Care este diferența dintre numărul cel mare și numărul cel mic?

Admite Loga, 2014
Vizualizează
Soluție:

Șirul dat este format din numerele: a,a+2a, a+2 și a+4,a+4, unde a este un număr par.
Din a+a+2+a+4=600a+ a+2 + a+4 = 600 obținem 3⋅a=594,3 \cdot a = 594, adică a=198.a=198. Deci numerele noastre sunt 198198, 200200 și 202,202, iar diferența cerută este 202−198=4.202-198=4.

Observație: Nu era nevoie să aflăm numerele. Diferența cerută este (a+4)−a=4(a+4)-a=4 și nu depinde de suma numerelor.

E.397. Într-o secvență (șir) de numere impare consecutive suma primilor trei termeni este 21, iar termenul din mijloc este 41. Care este ultimul termen?

Admite Loga, 2023
Vizualizează
Soluție:

Șirul dat este de forma: a,a+2,a+4,a+6,…,a, a+2, a+4, a+6, \ldots, unde a este un număr impar.
Din a+a+2+a+4=21a+ a+2 + a+4 = 21 obținem 3⋅a=15,3 \cdot a = 15, adică a=5.\boxed{a=5}. În acest caz, șirul devine:

  • 5=5+2⋅0⇒5 = 5 + 2 \cdot \boxed{0} \Rightarrow termenul 1;1;
  • 7=5+2⋅1⇒7 = 5 + 2 \cdot \boxed{1} \Rightarrow termenul 2;2;
  • 9=5+2⋅2⇒9 = 5 + 2 \cdot \boxed{2} \Rightarrow termenul 3;3;
  • ...
  • 41=5+2⋅18⇒41 = 5 + 2 \cdot \boxed{18} \Rightarrow termenul 19;19;
  • ...

Conform regulii de mai sus rezultă că 4141 este al 1919-lea termen din șir.
Cum termenul 1919 este la mijloc și înaintea lui sunt 1818 termeni, înseamnă că după el vor fi tot 1818 termeni. Deci șirul are 19+18=3719+18=37 termeni.

Urmărind regula de mai sus, al 3737-lea termen (adică ultimul) va fi 5+2⋅36=77.5 + 2 \cdot 36 = 77.

E.407. Un șir are 20172017 termeni, numere naturale consecutive. Termenul din mijlocul șirului este 2018. Care sunt primul și ultimul termen al șirului?

Admite Loga, 2017
Vizualizează
Soluție:

Șirul nostru este a,a+1,a+2,…,a+2016.a, a+1, a+2, \ldots, a+2016.
Dacă șirul are 20172017 termeni, atunci în mjloc vom avea termenul (2017+1):2=1009,(2017+1):2=1009, iar termenului 10091009 îi corespunde valoare a+1008.a+1008.

a+1008=2018⇒a=1010.a+1008 = 2018 \Rightarrow \boxed{a=1010}.
Deci primul termen este 1010,1010, iar ultimul este 1010+2016=3026.1010 +2016 = 3026.

E.403. Un şir de numere pare consecutive are suma dintre primul număr şi ultimul 26,26, iar suma ultimelor două numere este 38.38. Calculaţi al treilea număr al şirului.

Admite Loga, 2019
Vizualizează
Soluție:

Șirul dat este de forma: a,a+2,a+4,…,a+n,a, a+2, a+4, \ldots, a+n, unde aa și nn sunt numere pare.
Dacă ultimul termen este a+n,a+n, atunci penultimul termen va fi cu 22 mai mic, adică a+n−2.a+n-2.

{a+(a+n)=26(a+n−2)+(a+n)=38⇔{2a+n=26(1)2a+2n=40⇔{2a+n=26(1)a+n=20 \begin{cases} a + (a+n) = 26 \\ (a+n-2) + (a+n) = 38 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a+n = 26 \quad (1)\\ 2a+2n=40 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a+n = 26 \quad (1)\\ a+n=20 \end{cases}

Scăzând ultimele două relații obținem a=6.\boxed{a=6}. Deci al treilea termen este 10.10.

E.396. Gigel calculează suma numerelor naturale mai mici decât 21. Din greșeală adună un număr de două ori și obține 219. Care este numărul adunat de două ori?

Admite Loga, 2023
Vizualizează
Soluție:

1+2+3+…+21=(20⋅21):2=210.1+2+3+ \ldots + 21 = (20 \cdot 21): 2 = 210.
Numărul căutat este chiar diferența de la 210210 la 219,219, adică 9.9.

E.1017. Calculați diferenţa dintre cel mai mic număr de 44 cifre diferite cu suma cifrelor 77 şi cel mai mic număr de 33 cifre cu suma cifrelor 7.7.

Model Admite Loga, 2026
Vizualizează
Soluție:

1024−106=918.1024-106 = 918.

E.1019. Aflați rezultatul calculului 119−117+115−113+111−109+⋯+7−5+3−1.119−117+115−113+111−109+⋯+7−5+3−1.

Admite Loga, 2025
Vizualizează
Soluție:

(119−117)+(115−113)+(111−109)+⋯+(7−5)+(3−1).(119−117)+(115−113)+(111−109)+⋯+(7−5)+(3−1).
Șirul 1,3,5,7,…,1191,3,5,7,\ldots,119 are (119−1):2+1=60(119-1):2+1=60 termeni, deci calculu nostru are 3030 de paranteze.
Așadar, rezultatul cerut este 30⋅2=60.30 \cdot 2 = 60.