Înmulțirea și împărțirea. Factor comun

Lecție Lucian Maran 2026-09-25

E.405. Calculați diferența dintre cel mai mare număr natural de patru cifre distincte, care are produsul cifrelor număr impar și cel mai mic număr de patru cifre care are produsul cifrelor număr par.

Admite Loga, 2017
Vizualizează
Soluție:

Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr impar trebuie ca toate cifrele sa fie numere impare ⇒9753.\Rightarrow 9753.
Pentru ca produsul cifrelor să fie un număr par trebuie ca cel puțin o cifră sa fie număr par ⇒1000.\Rightarrow 1000.
Diferența cerută este 9753−1000=8753.9753-1000 = 8753.

E.406. Calculați suma a 5050 de numere naturale care au produsul egal cu 17.17.

Admite Loga, 2018
Vizualizează
Soluție:

Cum 1717 se împarte exact doar la 11 și la el însuși, înseamnă că singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 17,1,1,1…1⏟49 dee 1,17, \underbrace{1,1,1 \ldots 1}_{\text{49 dee 1}}, iar suma lor este 17+49⋅1=66.17 + 49 \cdot 1 = 66.

E.410. Câte numere abc‾\overline{abc} există astfel încât a⋅b⋅c=4?a \cdot b \cdot c = 4?

Admite Loga, 2015
Vizualizează
Soluție:

Numerele cerute sunt de forma:

  • 1bc‾:114,122,141⇒3\overline{1bc}: 114, 122, 141 \Rightarrow 3 numere;
  • 2bc‾:212,221⇒2\overline{2bc}: 212, 221 \Rightarrow 2 numere;
  • 4bc‾:411⇒\overline{4bc}: 411 \Rightarrow un număr.

În total, 66 numere.

E.430. Andrei își păstrează colecția de timbre în cutii. El are 55 cutii verzi mari. În fiecare din aceste cutii sunt câte 66 cutii albastre, iar în fiecare cutie albastră sunt câte 33 cutii galbene. Câte cutii folosește în total Andrei?

Admite Loga, 2022
Vizualizează
Soluție:

Andrei folosește:

  • 55 cutii verzi;
  • 5⋅6=305 \cdot 6 = 30 cutii albastre;
  • 5⋅6⋅3=905 \cdot 6 \cdot 3 = 90 cutii galbene.

Deci, în total, 5+30+90=1255+30+90 = 125 cutii.

E.431. Dacă pasul tatălui este de 7575 cm și al fiului de 5050 cm, câți pași face fiul în timp ce tatăl său face 100100 de pași?

Admite Loga, 2022
Vizualizează
Soluție:

În 100100 de pași, tata parcurge distanța de 100⋅75=7500100 \cdot 75 = 7500 cm.
Aceeași distanță, fiul o parcurge în 7500:50=1507500:50 = 150 pași.

E.432. Calculați produsul a 88 numere naturale diferite care au suma egală cu 28.28.

Mate2000 pentru performanță, 14/13
Vizualizează
Soluție:

Suma primelor 8 numere naturale este 0+1+2+…+7=7⋅8:2=28.0+1+2+ \ldots + 7 = 7 \cdot 8 : 2 = 28.
Prin urmare, singurele numere care satisfac condiția din enunț sunt 0,1,2,…,7,0, 1, 2, \ldots, 7, iar produsul acestor numere este 0.0.

E.433. În câte zerouri se termină produsul primelor 129129 de numere naturale nenule?

Mate2000 pentru performanță, 19/13
Vizualizează
Soluție:

De la 11 la 129129 avem:

  • 2525 numere care au în descompunerea lor cel puțin un 55: 5⋅1,5⋅2,…,5⋅25;5 \cdot \boxed{1}, 5 \cdot \boxed{2}, \ldots, 5 \cdot \boxed{25};
  • 55 numere care au în descompunerea lor cel puțin doi de 55: 25⋅1,25⋅2,…,25⋅5;25 \cdot \boxed{1}, 25 \cdot \boxed{2}, \ldots, 25 \cdot \boxed{5};
  • un număr care are în descompunerea lui trei de 55: 125.125.

Prin urmare, produsul cerut conține în descompunerea sa 25+5+1=3125+5+1=31 de 5,5, (și mult mai mulți de 22), deci 3131 de perechi de 55 și 2,2, adică 3131 de zero.

E.434. Aflați ultima cifră a numărului n=1+1⋅2+1⋅2⋅3+…+1⋅2⋅3⋅…⋅2018.n=1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + \ldots + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2018.

Mate2000 pentru performanță, 22/13
Vizualizează
Soluție:

Observăm că, începând cu al 55-lea termen, fiecare termen conține în descompunerea sa cel pun câte un 55 și un 2,2, adică are ultima cifră 0.0.
Prin urmare, ultima cifră a numărului dat este:
Uc(n)=Uc(1+1⋅2+1⋅2⋅3+1⋅2⋅3⋅4)=Uc(1+2+6+24)=3.U_c(n)= U_c(1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)=U_c(1+2+6+24) = 3.

E.435. a) Dacă două numere naturale au suma egală cu 11,11, aflați valoarea maximă a produsului lor.
b) Dacă două numere naturale au produsul egal cu 36,36, aflați valoarea maximă a sumei lor.

Mate2000 pentru performanță, 20,21/13
Vizualizează

E.1018. Suma dintre un număr, dublul predecesorului său și triplul succesorului său este 49.49. Calculați numărul.

Admite Loga, 2026
Vizualizează
Soluție:

Notăm numărul nostru cu n.n.
n+2⋅(n−1)+3⋅(n+1)=49n + 2 \cdot (n-1) + 3 \cdot (n+1) = 49
n+2n−2+3n+3=49n + 2n -2 + 3n + 3 = 49
6n+1=49⇒n=8.6n+1=49 \Rightarrow \boxed{n=8}.