Probleme de numărare

Observăm că la fiecare pas lipsește cu un număr mai mult decât la pasul precedent.
Dacă $21 = 15 + 6$ atunci:

• după $21$ urmează $21+7 = 28;$
• după $28$ urmează $28+8 = 36.$

Deci numerele lipsă sunt $28$ și $36.$

• $2026 + 1 = 2027$
• $2027 + (1 + 2) = 2030$
• $2030 + (1 + 2 + 3) = 2036$
• $2036 + (1 + 2 + 3 + 4) = 2046$
• $2046 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2061$
• $2061 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 2082.$

Deci următorul termen al șirului este $2082.$

Problema se reduce la a stabili câte combinații se pot face prin alipirea numerelor $41$, $32$ și $5.$

• $41,32,5 \Rightarrow 41325;$
• $41,5,32 \Rightarrow 41532;$
• $32,41,5 \Rightarrow 32415;$
• $32,5,41 \Rightarrow 32541;$
• $5, 41,32 \Rightarrow 54132;$
• $5, 32, 41 \Rightarrow 53241;$

În total putem forma $6$ numere.

Problema se reduce la a găsit toate numerele de $3$ cifre care au suma cifrelor $4$ (inclusiv numerele cu prima cifră $0$):

• numere care încep cu $4$: $400 \Rightarrow$ un număr;
• numere care încep cu $3$: $310, 301 \Rightarrow$ 2 numere;
• numere care încep cu $2$: $220, 211, 202 \Rightarrow$ 3 numere;
• numere care încep cu $1$: $130, 121, 112, 103 \Rightarrow$ 4 numere;
• numere care încep cu $0$: $040, 031, 022, 013, 004 \Rightarrow$ 5 numere;

În total, $1+2+3+4+5=15$ numere.

Observație: Pentru a nu rata unele numere, avem nevoie de un plan. În cazul de față, numerele de pe fiecare linie au cifra din mijloc în ordine descrescătoare, deci ultima cifră va fi în ordine crescătoare.

Numelere căutate sunt:

• cu $6$ cifre: $123456, 234567, 345678, 456789;$
• cu $7$ cifre: $1234567, 2345678, 3456789;$
• cu $8$ cifre: $12345678, 23456789;$
• cu $9$ cifre: $123456789.$

În total sunt $4+3+2+1 = 10$ numere.

Evident, $x$ trebuie să fie mai mare sau egal cu $8$:

• pentru $x=8 \Rightarrow \overline{xy}=80;$
• pentru $x=9 \Rightarrow \overline{xy}=90;91;92;\ldots;99.$

În total sunt $1+10=11$ numere.

Secvența $123$ apare la numerele $123$ și $1123,$ dar și prin alipirea unor numere care:

• se termină cu $1$ și încep cu $23$ → $312$ și $313;$
• se termină cu $12$ și încep cu $3$ → $123$ și $312.$

Deci Ioana a scris secvența $123$ de $4$ ori.

Numerele impare mai mici decât $4$ sunt $1$ și $3.$ Deci numerele noastre vor fi de forma:

• $\overline{ab1} → 100;$
• $\overline{ab3} → 300,~(210, 201),~ (120,111,102).$

În total sunt $7$ numere.

O hârtie tăiată (în trei bucăți) face ca numărul de hârtii rezultate să crească cu $2.$ Dacă inițial avem $7$ hârtii și creștem acest număr în mod repetat, cu $2,$ obținem mereu un număr impar. În concluzie, răspunsul corect este $15$ bucăți.

O hârtie tăiată (în $5$ bucăți) face ca numărul de hârtii rezultate să crească cu $4.$ Dacă inițial avem $7$ hârtii și creștem acest număr în mod repetat, cu $4,$ obținem, pe rând $7+4,~7+8,~7+12$ etc bucăti. În concluzie, $19$ bucăți obținem după $3$ tăieturi.

Din enunț rezultă imediat că în familie avem cel puțin $3$ copii: un copil (C1), fratele lui (F) și sora lui (S).

• cum fratele F trebuie să aibă cel puțin un frate și o soră, înseamnă că C1 trebuie să fie frate (adică băiat).
• cum sora S trebuie să aibă cel puțin un frate și o soră, înseamnă că C1 trebuie să fie soră (adică fată).

Cum C1 nu poate fi în același timp și fată și băiat, înseamnă că în familie sunt minim $4$ copii: doi băieti și două fete.

Șirul nostru poate arăta așa:

• b ff b ff b $\ldots$ b ff → nu convine, pentru că numărul de copii este multiplu de $3,$ iar $61$ nu este multiplu de $3;$
• ff b ff b $\ldots$ ff b → nu convine, din același motiv ca mai sus;

Așadar, șirul este obligatoriu să fie de forma b ff b ff b $\ldots$ b ff b.

Dacă notăm nu $2n$ numărul fetelor, atunci numărul băieților va fi $n+1.$
$2n + (n+1) = 61$
$3n+1=61 \Rightarrow n=20.$ Deci, în total sunt $40$ de fete.